Перигелий Меркурия и периастры двойных пульсаров

Для определенности запустим по орбите вокруг центрального тела, например, протон, конструктивно оформленный в виде устойчивой структуры из двух синхронных и синфазных фотонов.

Орбитальная скорость

   

где:

$M$ - масса центрального гравитирующего тела,

$b$ - малая полуось орбиты,

$a$ - большая полуось орбиты,

$\varepsilon $ - эксцентриситет орбиты,

$\Theta $ - истинная аномалия - угол между радиус-вектором $R$ тела на орбите и направлением на перицентр из центра гравитирующего тела.

$b=a\sqrt{1-\varepsilon ^2}$

$b^2=a^2(1-\varepsilon ^2)$  подставляем в (1) и получаем

$V=\sqrt{\frac{GM}{a(1-\varepsilon ^2)}(1+2\varepsilon cos\Theta +\varepsilon ^2)}$

фокальный радиус (справа) $r=a-\varepsilon x$, где $x$ - расстояние от центра до перигелия

$g=\frac{GM}{R^2}$ ускорение свободного падения на расстоянии $R$ от тела массы $M$

$R=\frac{a(1-\varepsilon ^2)}{1+\varepsilon cos\Theta }$ - расстояние от фокуса с центральным телом до точки положения тела на орбите.

$t=\frac{\lambda _{c}}{C}}$ - время одной итерации

где $\lambda _{c}$ - Комптоновская длина волны протона, нейтрона, электрона

$C$ - скорость света.

$gt^2_{B}=\frac{GM\lambda _{c}^2}{R^2C^2}$ - падение за одну большую итерацию в метрах

$gt^2_{m}=gt^2_{B}\frac{V_{orb}^2}{C^2}$ - условное падение за одну малую итерацию будет умножено на "тройку"

"Тройка" - $f(v)$ - зависит от расстояния между центрами фотонов, выраженное в единицах $\lambda _{c}$

$f(v)=\frac{2\lambda _{c}\sqrt{1-\frac{v^2}{C^2}}+\lambda _{c}}{\lambda _{c}}=2\sqrt{1-\frac{v^2}{C^2}}+1$

где $v$ - средняя орбитальная скорость.

Сама функция плавно изменяется от $3$ при $v_{orb}=0$ до $1$ при $v_{orb}=C$.

$gt^2_{B}=\frac{GM\lambda _{c}^2}{R^2C^2 }$

$gt^2_{m}=\frac{GM\lambda _{c}^2}{R^2C^2}\frac{V_{orb}^2}{C^2}$

$arcsin(\frac{gt^2_{m}}{V_{orb}t})\nu T$ радиан - угол смещения перицентра за время прохождения телом одного градуса орбиты

где $\nu =\frac{C}{\lambda _{c}}$ - Комптоновская частота протона, нейтрона, электрона,

$T=\frac{R}{V_{orb}}sin(1^{\circ})$ секунд на прохождение градуса $\pi /180$ орбиты.

$arcsin(\frac{GM\lambda _{c}^2V_{orb}^2}{R^2C^2C^2V_{orb}t})$ при $V_{orb}\ll C$ работаем пока без $arcsin$,

тогда $\frac{gt^2_{B}}{Ct}=\frac{GM\lambda _{c}^2V_{orb}^2}{R^2C^2C^2V_{orb}t}=\frac{GMV_{orb}^2t^2}{R^2C^2V_{orb}t}=\frac{GMV_{orb}t}{R^2C^2}$

осталось домножить на $\nu T$

$\begin{gathered}\quicklatex{size=15}\frac{GMV_{orb}t}{R^2C^2}\nu T=\frac{GMV_{orb}t}{R^2C^2}\frac{C}{\lambda _{c}}\frac{R}{V_{orb}}sin(1^{\circ})=\frac{GM}{RC^2}sin(1^{\circ}) \end{gathered}$
подставляем $R$

$\frac{GM(1+\varepsilon cos\Theta )}{C^2a(1-\varepsilon ^2)}sin(1^{\circ})$

Осталось проинтегрировать

$\frac{GM}{C^2a(1-\varepsilon ^2)}\int_{0}^{\pi }1+\varepsilon cos\Theta d\Theta=\pi \frac{GM}{C^2a(1-\varepsilon ^2)}$ - угол смещения за половину оборота или

   

- угол смещения перицентра за оборот,

где $f(v)=2\sqrt{1-\frac{v^2}{C^2}}+1$

Теперь нужно показать, как работать под арксинусом для любой $v$

Вещество на орбите горизонта событий черной дыры

Для проверки формулы движения перицентра и её природы запустим по орбите радиусом $R_{g}$ тело. Пусть масса ЧД равна $10$ массам Солнца. Орбитальная скорость, естественно, постоянна и равна $C$. Никаких особенностей орбита не имеет, эксцентриситет её равен нулю - это строго круговая орбита.

Теперь об ожиданиях от расчета. Поскольку при $v_{orb}=C$ обе итерации становятся равноправными, то за оборот они должны накопить каждая по $\pi $ радиан. Но для приближения к реальности рассчитаем каждую из них раздельно.

Для большой итерации, которая работает всегда, при любой орбитальной скорости, и в случае движения перигелия Меркурия отвечает за основное орбитальное движения тела

$\varphi = arcsin(\frac{GM\lambda _{c}}{R_{g}^2C^2})\nu \frac{2\pi R_{g}}{C}$, где

$G$ - гравитационная постоянная,

$M$ - масса черной дыры,

$\lambda _{c}$ - Комптоновская длина волны протона,

$R_{g}=\frac{2GM}{C^2}$ - гравитационный, он же орбитальный радиус,

$\nu $ - Комптоновская частота протона,

$\frac{2\pi R_{g}}{C}$ - время полного орбитального оборота.

Для любой массы черной дыры $\varphi = \pi $, что и ожидалось. Вторая часть должна быть тем, что мы называли движением перицентра $(2)$

$\Delta \varphi =2\pi \frac{GM}{C^2a(1-\varepsilon ^2)}f(v)$ - угол смещения перицентра за оборот,

где $f(v)=2\sqrt{1-\frac{v^2}{C^2}}+1$

В  случае ЧД формула значительно упрощается до $\Delta \varphi =2\pi \frac{GM}{C^2R_{g}}$,

которая при подстановке значений дает $\Delta \varphi =\pi $

 

Расчет периастра для двойного пульсара Халса-Тейлора (B1913+16)

Массы компонентов и орбитальные характеристики:

$M_{1}$ = 1,4414(2) M_⊙,  $M_{2}$ = 1,3867(2) M_⊙, эксцентриситет $\varepsilon $ = 0.617134,

время оборота $P$ = 7,75 час = 2,79·10⁴ сек, средняя скорость движения по орбите 200 км/с.

Из уравнения $P=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{G(M_{1}+M_{2})}}}}$ можно выразить $a$ - большую полуось

$a=\sqrt[3]{\frac{GP^2(M_{1}+M_{2})}{4\pi ^2}}$

Подставляя значения в $\Delta \varphi =2\pi \frac{GM}{C^2a(1-\varepsilon ^2)}f(v)\eqno(2)$=4,2241°  в год.

При этом в уравнение $f(v)=2\sqrt{1-\frac{v^2}{C^2}}+1$ подставляется относительная скорость компонентов системы $v$=400 км/сек.*

*Для таких малых скоростей $f(v)$ можно считать равной $3$.

Расчет периастра для двойного пульсара B2127+11C

Массы компонентов и орбитальные характеристики:

$M_{1}$ = 1,358 M_⊙,  $M_{2}$ = 1,354 M_⊙, эксцентриситет $\varepsilon $ = 0.681395,

время оборота $P$ = 8,047 час = 2,8968·10⁴ сек, средняя скорость движения по орбите 170 км/с.

Пользуясь выкладками предыдущей задачи, получим $\Delta \varphi $ = 4,460 градусов в год.

Расчет периастра для двойного пульсара J1807−2500B

Массы компонентов и орбитальные характеристики:

$M_{1}$ = 1,3655 M_⊙,  $M_{2}$ = 1,2064 M_⊙, эксцентриситет $\varepsilon $ = 0.747033,

время оборота $P$ = 9,95667 суток = 8,6025·10⁵ сек.

Пользуясь выкладками предыдущих задач, получим $\Delta \varphi $ = 1,1 угловой минуты в год.